Introducción a la probabilidad

Essentially, all models are wrong, but some are useful — George E.P. Box

Ivan Meza

Significado

• Existe una probabilidad del 90% que el medicamento funcione
• Existe una probabilidad del 90% la Iliada y la Odisea fueron escritos por la misma persona

Incetidumbre

Experimento

• Un proceso con varios resultados posibles

Experimentos: ejemplos

• Juegos de azar
• Deportes
• Procesos políticos
• Probar un medicamento
• Procesos fonéticos
• Procesos fonológicos

Evento

La realización de un experimento específico

• Un volado
• Un partido de Pumas vs Toluca
• Una elección
• Tomar una píldora
• Cada vez que alguien habla
• Cada vez que alguien habla

Teoría de la probabilidad

• Espacio de muestreo $\Omega$
• Ley de la probabilidad

Espacio de muestreo: ejemplos

El conjunto de resultados posibles

• ¿Lanzar una moneda?
• ¿Pumas contra Toluca?
• ¿La elección del 2012?
• ¿Tomar una píldora?
• ¿Pronunciar el fonema a?
• ¿Pronunciar un una s aspirada?

Resultado

El resultado que se da en un evento

• Sol
• 1-3
• Gana candidato PRI
• Mejoro
• a
• s

La ley de probabilidad

• $P(A) \ge 0.0$
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ si son disjuntos
• $P(\Omega) = 1.0 $

Cada vez que alguien dice hay que ponerle $110\%$ de ganas, un hada estadística cae en coma

En resumen

• La probabilidad de un evento es mayor o igual a cero
• La probabilidad de dos eventos disjuntos es su suma
• La probabilidad del espacio de muestreo es uno

Asigna valores entre 0 y 1 al conjunto de posible resultados de un experimento

$2^\Omega \rightarrow [0..1]$

Deconstruyendo la notación

$P(X)$

• $P \rightarrow$ indica que lo que sigue es una probabilidad
• $() \rightarrow$ marcan hasta donde abarca de lo que queremos una probabilidad
• $X \rightarrow$ es el conjunto del cual queremos su probabilidad

Una moneda al aire

• $\Omega = \{A,S\}$
• $2^\Omega = \{\emptyset,\{A\},\{S\},\{A,S\}\}$
• $P(A) = $ 0.5
• $P(S) = $ 0.5
• $P(\{A,S\}) = P(A) + P(S) = 1.0$
• $P(\emptyset) = 0.0$

Pronunciar un fonema de la CDMX

• $\Omega = AFI$
• $2^\Omega = \{\emptyset,\{a,...\},\{b,...\},\{a,b,...\}\}$

$P(A \cup D) = $$P(A) + P(D)$

$P(C)$ $\ge$ $P(B) $

$P(A \cup C) = $$ P(A)+P(C)-P(A \cap C) $

Probabilidad condicional

Probabilidad condicional

• $P(A|B)$
• La probabilidad de que un evento ocurra dado que otro ya ocurrió
• Cambia nuestro espacio de muestreo, al espacio de

$P(A)$, $P(B)$ y $P(C)$

$P(A|B)$, $P(C|B)$

$P(A \cap B)$

$P(A \cap B)=P(A|B)P(B)$

$P(B)$$=P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)+P(A_3\cap B)$

Teorema de Bayes

$P(A \cap B)=P(A|B)P(B)$

$P(A \cap B)=P(B|A)P(A)$

$P(B|A)P(A)=P(A|B)P(B)$

$P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}$

$P(C|E)=\frac{P(E|C)P(C)}{P(E)}$

• C: Causa
• E: Evidencia

Uso

• Dado que veo un efecto que puedo decir de la causa

Ejemplo

• $1%$ de las mujeres mayores de 40 años que se checan regularmente tienen cáncer
• $80%$ de estas mujeres recibirán un resultado positivo
• $9.6%$ de las mujeres sin cáncer también reciben un resultado positivo

Una mujer de 45 recibe un resultado positivo ¿Cuál es la probabilidad de que tenga cáncer?

Algunos datos

• $15%$ de los doctores razonan adecuadamente este problema
• Un cambio de escala sube ese número a $46%$

Re-escribiendo

• Causa: cáncer; Efecto: resultado positivo
• $\Omega = \{C+,nC+,C-,nC-\}$
• $P(C|+)$

Re-escribiendo

• $P(C)=0.01$
• $P(+|C)=0.8$
• $P(+|nC)$=0.096

Re-escribiendo

• $P(C|+)=\frac{P(+|C)P(C)}{P(+)}$
• $P(+)=P(+\cup C)+P(+ \cup nC)$
• $P(+)=P(+| C)P(C)+P(+ | nC)P(nC)$
• $P(+)=0.8*0.01+0.096*0.99=0.103$
• $P(C|+)=\frac{0.8*0.1}{0.103}=0.0769$

Fonéticamente...

• $P(E|P)$, ejemplos de esa persona
• $P(P)$, es cierta persona
• $P(E)$, el fonema

... pero no es suficiente ... más adelante regresaremos a esto

Preguntas interesantes

• ¿Qué características fonéticos son buena evidencia?
• ¿Cuantos datos son suficiente?

Representaciones

• Tablas
• Distribución de probabilidades*

Distribución normal

Distribución normal

Muestreo

• ¿Colección de grabaciones?
• ¿Cuantos datos son suficiente?

Colecciones

• De decenas hasta cientos
• Tipo de habla: monólogos, entrevistas, lecturas

Colecciones

• De decenas hasta cientos
• Elegir similares

Micrófonos

• Electrostático
• Dinámico
• Pieza eléctrico
• Magnético
• Carbón

Omnidireccional

Bidireccional

Direccional

Cardiode

Respuesta a la frecuencia

Dynamic vs Condenser Microphones, SM57 vs P170 de CaneMajor en YouTube.