Jerarquía de Chomsky

Lenguaje	Gramática	Máquina	Ejemplo
Dependiente del contexto	Tipo 1 ( $\alpha V \beta \rightarrow \alpha \gamma \beta$ )	Autómata lineal con fronteras	$ww, a^nb^nc^n$
Independiente del contexto	Tipo 2 ( $V\rightarrow \alpha$ )	Autómata de pila	$ww^r, a^nb^n$
Regular	Tipo 3 ( $V \rightarrow aA\|\epsilon$ )	Autómata finito	$w, a^*$

Máquinas de Turing

Es una tupla $(Q,\Sigma,\Gamma,q_0,B,A,\delta)$

$Q$ conjunto finito de estados
$\Sigma$ alfabeto de cadenas reconocidas
$\Gamma$ alfabeto de cinta, $\Sigma \subset \Gamma$
$q_0$ estado inicial
$B$ Símbolo de espacio en blanco $B \in \Gamma$ pero $B \not\in \Sigma$
$A$ estados finales
$\delta$ función de transición $Q \times \Gamma \rightarrow Q\times\Gamma\times\{der,izq\}$

La cinta

Infinita
Todo lo que no es entrada tiene un símbolo $B$
$[\ldots,B,B,a,a,b,b,B,B,\ldots]$
El principio de la cinta es la posición $0$

Autómata lineal con frontera

Es una tupla $(Q,\Sigma,\Gamma,q_0,B,A,\delta)$

$Q$ conjunto finito de estados
$\Sigma$ alfabeto de cadenas reconocidas
$\Gamma$ alfabeto de cinta, $\Sigma \subset \Gamma$
$q_0$ estado inicial
$B$ Símbolo de espacio en blanco $B \in \Gamma$ pero $B \not\in \Sigma$
$A$ estados finales
$\delta$ función de transición $Q \times \Gamma\cup \{\lt,\gt\} \rightarrow Q\times\Gamma\cup \{\lt,\gt\}\times\{der,izq\}$

MT con cinta finita

Algoritmos interesantes cuyo requerimiento de memoria crece linearlmente con la entrada

Ejemplo

	$a$	$b$	$X$	$Y$	$B$
$q_0$	$(q_1,X,R)$			$(q_3,Y,R)$
$q_1$	$(q_1,a,R)$	$(q_2,Y,L)$		$(q_1,Y,R)$
$q_2$	$(q_2,a,l)$		$(q_0,X,R)$	$(q_2,Y,L)$
$q_3$				$(q_3,Y,R)$	$(q_4,B,R)$
$q_4$

¿Problema, cómo especificar la configuración?

AF Estado y símbolo de cadena
AP Estado, símbolo de cadena, símbolo pila
APDo Estado, símbolo de cadena, símbolo pila uno y símbolo pila dos

¡Cinta!

Recordando

	$a$	$b$	$X$	$Y$	$B$
$q_0$	$(q_1,X,R)$			$(q_3,Y,R)$
$q_1$	$(q_1,a,R)$	$(q_2,Y,L)$		$(q_1,Y,R)$
$q_2$	$(q_2,a,l)$		$(q_0,X,R)$	$(q_2,Y,L)$
$q_3$				$(q_3,Y,R)$	$(q_4,B,R)$
$q_4$

Descripción instantáneas

$\delta(q,X_i)=(p,Y,L)$

$X_1X_2\ldots X_{i-1}qX_iX_{i+1}\ldots X_n \vdash X_1X_2\ldots X_{i-2}pX_{i-1}YX_{i+1}\ldots X_n$

excepción

$i=1$ , $qX_1X_2\ldots X_n \vdash pBYX_2\ldots X_n$
$i=n, Y=B$ , $X_1X_2\ldots X_{n-1}qX_n \vdash BX_1X_2\ldots pX_{n-1}$

Descripción instantáneas

$\delta(q,X_i)=(p,Y,R)$

$X_1X_2\ldots X_{i-1}qX_iX_{i+1}\ldots X_n \vdash X_1X_2\ldots X_{i-1}YpX_{i+1}\ldots X_n$

excepción

$i=n$ , $X_1X_2\ldots qX_n \vdash X_1X_2\ldots YpB$
$i=1, Y=B$ , $qX_1X_2\ldots X_n \vdash pX_2\ldots X_{n-1}$

$q_0aabb$
$\vdash Xq_1abb$
$\vdash Xaq_1bb$
$\vdash Xq_2aYb$
$\vdash q_2XaYb$
$\vdash Xq_0aYb$
$\vdash XXq_0Yb$
$\vdash XXYq_1b$
$\vdash XXq_2YY$
$\vdash Xq_2XYY$
$\vdash XXq_0YY$
$\vdash XXYq_3Y$
$\vdash XXYYq_3$
$\vdash XXYYBq_4B$

El lenguaje aceptado por una máquina de Turing

$L(T)=\{ w\in \Sigma^* | q_0w \vdash^* \alpha p\beta, p\in A \}$

A los lenguajes aceptados por las MT se les conoce como Lenguajes Recursivos Enumerables

$1110$

$1101110$

Relación entre máquinas

Sabemos qué es más poderosa que ALF, la cinta no tiene límite
Sabemos qué es diferente a AP* y AF*
Esta sesión y la siguiente definiremos el poder de la MT

APD para un MT

Simular un MT con un APD
Simular un APD con una MT

Una APD para una MT

Usamos la pila para presentar lo que está a la izquierda o derecha de la descripción instantánea
$X_1\ldots X_nqX_{n+1}\ldots X_k$ produce las cintas $X_n\ldots X_1]\ [X_k\ldots X_{n+1}$
Movimientos son equivalentes a un pop en una pila y un push en la otra, en el proceso se re-escribe

Una MT para un APD

Se define un marcador para una pila a la izquiera de la cienta, y un segunda a la derecha
Se definen funciones que permitan posicionar en los marcadores y hacer push y pops sobre la pila

Autómata de doble pila*

Es una tupla $(Q,\Sigma,\Gamma,q_0,Z_0,A,\delta)$

$Q$ conjunto finito de estados
$\Sigma$ alfabeto de cadenas reconocidas
$\Gamma$ alfabeto de pila
$q_0$ estado inicial
$Z_0$ símbolo inicial de la pila
$A$ estados finales
$\delta$ función de transición $Q \times (\Sigma \cup \{\epsilon\}) \times \Gamma \times \Gamma \rightarrow Q\times\Gamma^*\times\Gamma^*$

Un AFND- $\epsilon$ + dos pilas

A partir de ahora, todo lo que definamos para MT se aplica a $APD$

MT varias cintas

Una $M_T$ con varias cintas $M_{kT}$

Para toda $L(M_{kT})$ existe una equivalente $L(M_T)$

Construir una $M_T$ que simule a $M_{kT}$

MT no determinístico

La función de transición $\delta$ regresa un conjunto

Para toda $L(MND_T)$ existe una equivalente $L(M_T)$

Construir una $M_T$ que simule a $MND_{T}$

MT semi-infinitas

La cinta sólo existe hacia al lado derecho

$[a,a,b,b,B,B,\ldots]$

Construir una $M_T$ que simule a $M_{T}$ semi-finita

Autómata con cola

Es una tupla $(Q,\Sigma,\Gamma,q_0,Z_0,A,\delta)$

$Q$ conjunto finito de estados
$\Sigma$ alfabeto de cadenas reconocidas
$\Gamma$ alfabeto de pila
$q_0$ estado inicial
$Z_0$ símbolo inicial de la cola
$A$ estados finales
$\delta$ función de transición $Q \times (\Sigma \cup \{\epsilon\}) \times \Gamma \rightarrow Q\times\Gamma^*$

Un AFND- $\epsilon$ + una cola

Simulando una MT

Procesador: automáta finito

Memoria y disco: cinta

Simulando una computadora

Multiples cintas: Memoria, contador de instrucción, dirección de memoria, dispositivo de entrada, auxiliar

Automáta: para ejecutar instruccion, por instruacción

Gramáticas de frase

Son una tupla

$G=(V,\Sigma,P,S)$ , donde:

$V$ es otro alfabeto que denominamos símbolos no terminales (generalmente en mayúsculas)
$\Sigma$ es un alfabeto que denominamos símbolos terminales
$P$ es conjunto de reglas con la forma $\alpha \rightarrow \beta$ donde $\alpha,\beta \in (\Sigma\cup V)^*$
$S\in V$ que denominamos símbolo inicial

A partir de ahora, todo lo que definamos para MT se aplica a $APD$ , MT varias cintas, MT no deterministicos, $AC$ , computadoras, $GF$

Revisando la MT

o cómo aprendí a amar el determinismo

Lenguajes aceptados

Dada $w$ , ¿cúando un AF* acepta a $w$ ?

En el último símbolo de la cadena,
Estado final un estado aceptor

¿Cúando no?

En el último símbolo de la cadena, ninguno de los estados es aceptor
En cualquier símbolo de la cadena, no hay transición

Un pequeño problema

¿En qué situación no podríamos llegar a sí o no?

Que se quede trabado, ciclo infinito
Transiciones $\epsilon$ al mismo estado, AFND y AFND- $\epsilon$
No es problema, lo pasamos a AF o quitamos ciclos

Ufff, nos salvamos de romper nuestra maquinaria: sí o no

Dada $w$ , ¿cuándo un AP* acepta a $w$ ?

En el último símbolo de la cadena,
Estado final un estado aceptor

¿Cuándo no?

En el último símbolo de la cadena, ninguno de los estados es aceptor
En cualquier símbolo de la cadena, no hay transición

Mismo problema

Que se quede trabado, ciclo infinito
Transiciones $\epsilon$ al mismo estado, AP
No todos los $L$ tienen un APD, pero podemos quitar ciclos infinitos

Ufff, nos volvimos a salvar de romper nuestra maquinaria: sí o no

Dada $w$ , ¿cuándo un ALF acepta a $w$ ?

En el algún símbolo de la cadena... pasamos por un estado aceptor

¿Cuándo no?

En cualquier símbolo de la cadena, no hay transición

Un problema mucho más grande!!!!

Que se quede trabado, ciclo infinito
No solo con transiciones $\epsilon$ , sino en la cinta

Uchales, no sé ve por donde!!!!! ¿se rompe la maquinaria?

Que no cunda el pánico!

Dada $w$ , ¿cuándo un ALF acepta a $w$ ?

En el algún símbolo de la cadena... pasamos por un estado aceptor

¿Cuándo no?

En cualquier símbolo de la cadena, no hay transición
Y no se queda en un ciclo infinito ;-)

Eso es trampa....

Hacer un aditamento, que lleve la cuenta de los pasos

... hay un límite máximo de cuando ver a un estado aceptor

Ya sucedieron todas las re-escrituras posibles ( $k^n$ )
Ya visité todos estados en todas las posiciones ( $n*q$ )

Si la cuenta de pasos es mayor a $k^nnq$ parar

Ufff, por poquito de romper nuestra maquinaria: sí o no

Dada $w$ , ¿cuándo una MT acepta a $w$ ?

En el algún símbolo de la cadena...
aparece un estado final un estado aceptor

¿Cuándo no?

En cualquier símbolo de la cadena, no hay transición

Un problemon

Que se quede trabado, ciclo infinito
No solo con transiciones $\epsilon$ , sino en la cinta
La cinta no está limitada, no se puede definir un límite

Nuestra maquinaría está rota

¿Tenemos esperanza?

¿Habrá algo diferente a un límite?
¿Podremos poner una máquina que vea a la otra máquina y detecte un ciclo?
¿Podremos analizar nuestra máquina?

La respuesta desafortunada, la siguiente sesión

Lenguaje decidibles

Existe una máquina que lo acepte

Para cualquier $w\in L$ que tienen la secuencia máxima de pasos es finita

El mapa

AF*: decidibles
AP*: decidibles
ALF*: decidibles (exepción $L=\epsilon$ )
MT: no siempre

El mapa

MT: decidibles definen lenguajes recursivos ( $L_{Rec}$ )
MT: aceptables definen lenguajes recursivamente enumerables ( $L_{RE}$ )

Hasta ahora pareciera que es un problema de la máquina, en la siguiente sesión demostraremos que un problema de los lenguajes

Jerarquía de Chomsky

Lenguaje	Gramática	Máquina	Ejemplo
$L_{RE}/L_{Rec}$ /	Tipo 0 ( $\alpha \rightarrow \beta$ )	Máquina de Turing, APDo, AC	??
$L_{DC}$	Tipo 1 ( $\alpha V \beta \rightarrow \alpha \gamma \beta$ )	Autómata lineal con fronteras	$ww, a^nb^nc^n$
$L_{LC}$	Tipo 2 ( $V\rightarrow \alpha$ )	Autómata de pila	$ww^r, a^nb^n$
$L_{reg}$	Tipo 3 ( $V \rightarrow aA\|\epsilon$ )	Autómata finito	$w, a^*$

Máquinas de Turing o máquinas con cola by Ivan V. Meza Ruiz is licensed under a Creative Commons Reconocimiento 4.0 Internacional License.
Creado a partir de la obra en http://turing.iimas.unam.mx/~ivanvladimir/slides/lfya/mt.html.

Máquinas de Turing o máquinas con cola

We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.— Alan Turing