Máquinas que comen máquinas
To iterate is human, to recurse divine.— L. Peter Deutsch
Máquinas de Turing
Es una tupla $(Q,\Sigma,\Gamma,q_0,B,A,\delta)$
- $Q$ conjunto finito de estados
- $\Sigma$ alfabeto de cadenas reconocidas
- $\Gamma $ alfabeto de cinta, $\Sigma \subset \Gamma$
- $q_0$ estado inicial
- $B$ Símbolo de espacio en blanco $B \in \Gamma$ pero $B \not\in \Sigma$
- $A$ estados finales
- $\delta$ función de transición $Q \times \Gamma \rightarrow Q\times\Gamma\times\{der,izq\}$
Jerarquía de Chomsky
| Lenguaje | Gramática | Máquina | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| $L_{RE}/L_{Rec}$ | Tipo 0 ($\alpha \rightarrow \beta$) | Máquina de Turing, APDo, AC | ?? |
| $L_{DC}$ | Tipo 1 ($\alpha V \beta \rightarrow \alpha \gamma \beta$) | Autómata lineal con fronteras | $ww, a^nb^nc^n$ |
| $L_{LC}$ | Tipo 2 ($V\rightarrow \alpha$) | Autómata de pila | $ww^r, a^nb^n$ |
| $L_{reg}$ | Tipo 3 ($V \rightarrow aA|\epsilon$) |
Autómata finito | $w, a^*$ |
Lo que sabemos
Las máquinas que al pasar por un estado final terminan aceptando la cadena, otras que no tienen una transición y rechazan la cadena, pero de vez en cuando se pueden quedar en un ciclo
Si la cadena debe ser aceptada por la MT, eventualmente llegará al estado aceptor; si la cadena debe ser rechazada puede llegué a una transición inexistente o se quede en un ciclo.
Las autómatas finitos, autómatas de pilas, autómatas con frontera lineal, son máquinas aceptoras: verdadero o falso
Entonces las MT contienen máquinas aceptoras
Codificación de una cadena
$\delta (q_i ,X_j ) = (q_k,X_l,D_m)$
- Asignar a cada estado $Q$, a cada símbolo de $\Gamma$ y cada dirección un entero
- Codificar cada entrada de la MT como $0^i10^j10^k10^l10^m$
- Separar cada codificación con doble uno ($11$)
Ejemplo
- $\delta(q_1,1)=(q_3,0,R)$ $0100100010100$
- $\delta(q_3,0)=(q_1,1,R)$$0001010100100$
- $\delta(q_3,1)=(q_2,0,R)$$00010010010100$
- $\delta(q_3,B)=(q_3,1,L)$$0001000100010010$
Con $q_1=1, q_2=2, q_3=3; 0=1, 1=2, B=3; L=1, R=2$
01001000101001100010101001001100010010010100110001000100010010
Máquina de Turing Universal
It is possible to invent a single machine which can be used to compute any computable sequence. If this machine $U$ is supplied with a tape on the beginning of which is written the S.D ["standard description" of an action table] of some computing machine $M$, then $U$ will compute the same sequence as $M$.
Turing, 1936
Es posible inventar una máquina que pueda ser usada para computar cualquier secuencia computable. Si esta máquina $U$ se le provee con una cinta en la que al principio se le escribe la descripción estándar de una tabla de acción de alguna máquina $M$, entonces $U$ computará la misma secuencia que $M$
MTU: Máquina de Turing que puede simular una MT arbitraria
$M_u$
Lenguaje aceptado
$L_u=\{ mw | w\in L(M)\}$
El lenguaje máquinas y cadenas dónde la máquina acepta a la cadena
Por el momento, haremos la hipótesis que $M_u$ es recursivo/decidible
Realización, una MT es una cadena
Como cadena se podía presentar a una máquina de Turing universal
Las máquinas de Turing que se aceptan a si mismas
$L_\bar{d}=\{ m | m\in L(M)\}$
Las máquinas en realidad son un número, como número las podemos ordenar
Ordenadas, cada una corresponde a un número entero
Entonces,...
| $m_0$ | $m_1$ | $m_2$ | $m_3$ | $m_4$ | $\ldots$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $M_0$ | T | F | F | T | F | $\ldots$ |
| $M_1$ | F | F | F | F | F | $\ldots$ |
| $M_2$ | T | T | T | T | T | $\ldots$ |
| $M_3$ | F | T | F | F | F | $\ldots$ |
| $M_4$ | T | F | T | F | F | $\ldots$ |
| $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ |
| $m_0$ | $m_1$ | $m_2$ | $m_3$ | $m_4$ | $\ldots$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $M_0$ | T | F | F | T | F | $\ldots$ |
| $M_1$ | F | F | F | F | F | $\ldots$ |
| $M_2$ | T | T | T | T | T | $\ldots$ |
| $M_3$ | F | T | F | F | F | $\ldots$ |
| $M_4$ | T | F | T | F | F | $\ldots$ |
| $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ |
| $\bar{M_d}$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $\ldots$ |
|---|
| $m_0$ | $m_1$ | $m_2$ | $m_3$ | $m_4$ | $\ldots$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $M_0$ | F | F | F | T | F | $\ldots$ |
| $M_1$ | F | T | F | F | F | $\ldots$ |
| $M_2$ | T | T | F | T | T | $\ldots$ |
| $M_3$ | F | T | F | T | F | $\ldots$ |
| $M_4$ | T | F | T | F | T | $\ldots$ |
| $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ |
| $M_d$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $\ldots$ |
|---|
El lenguaje de las máquinas que no se aceptan a si mismas $L_d=\{m | m \not \in L(M)\}$
Si es RE o Rec existe una máquina de Turing, $M_d$, ¿qué pasa con su descripción $m_d$?
Si $m_d \in L_d$, quiere decir que no se acepta a si misma, pero para eso $M_d$ tendría que aceptarla, que la hace una máquina que se acepta a si misma, contradicción
Si $m_d \not \in L_d$, quiere decir que se acepta a si misma, pero para eso $M_d$ no tendría que aceptarla, que la hace una máquina que no se acepta a si misma, contradicción
$L_d$ existe afuera de las máquinas de Turing
| Lenguaje | Gramática | Máquina | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| No RE | -- | -- | $L_d$ |
| $L_{RE}/L_{Rec}$ | Tipo 0 ($\alpha \rightarrow \beta$) | Máquina de Turing, APDo, AC | ?? |
| $L_{DC}$ | Tipo 1 ($\alpha V \beta \rightarrow \alpha \gamma \beta$) | Autómata lineal con fronteras | $ww, a^nb^nc^n$ |
| $L_{LC}$ | Tipo 2 ($V\rightarrow \alpha$) | Autómata de pila | $ww^r, a^nb^n$ |
| $L_{reg}$ | Tipo 3 ($V \rightarrow aA|\epsilon$) |
Autómata finito | $w, a^*$ |
Lenguajes aceptados por máquinas aceptoras: recusivos o decidibles
¿Las máquinas de Turing son las máquinas aceptoras?
Sabemos que las máquinas Turing tiene un límite
Imaginemos
Complemento de todos los recursivos son recursivo
Lenguaje aceptado
$L_u=\{ mw | w \in L(m)\}$
¿Si pasamos nuestra numeración de $MT_i$?
Si $L_u$ es recursivo, su complemento también...
¿Si pasamos nuestra numeración de $MT_i$?
¡Aceptaría $L_d$! ¡No es posible! por lo tanto $L_u$ tiene algo raro
$L_u$ no es Rec pero RE
| Lenguaje | Gramática | Máquina | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| No RE | -- | -- | $L_d$ |
| $L_{RE}/L_{Rec}$ | Tipo 0 ($\alpha \rightarrow \beta$) | Máquina de Turing, APDo, AC | $L_u$/ |
| $L_{DC}$ | Tipo 1 ($\alpha V \beta \rightarrow \alpha \gamma \beta$) | Autómata lineal con fronteras | $ww, a^nb^nc^n$ |
| $L_{LC}$ | Tipo 2 ($V\rightarrow \alpha$) | Autómata de pila | $ww^r, a^nb^n$ |
| $L_{reg}$ | Tipo 3 ($V \rightarrow aA|\epsilon$) |
Autómata finito | $w, a^*$ |
Sabemos que hay MT que son decidibles: verdadero y falso
Sabemos que hay problemas para los cuales no existe MT, $L_d$
Sabemos que hay MT que no son decidibles: verdadero, falso y ciclo
Opciones de una máquina de Turing
- ¿Cuándo se acepta? Llega a estado aceptor
- ¿Cuándo se rechaza? Llega a estado del que no hay transición dado el estado de la cinta
- ¿Otra opción? Quedarse en un ciclo infinito
Modelo teórico: instantáneo
- Aceptar (T) Llega a estado aceptor
- Rechazar (F) Se queda en estado no aceptor
- Loop infinito Rechazó o loopinfinito?
Modelo práctico: tiempo
- Aceptar (T) En algún momento llega a estado aceptor
- Rechazar (F) En algún momento llega a estado no aceptor
- Loop infinito No termina nunca
Ante problemas muy, muy difíciles, no sabemos si sigue procesando o está en un loop infinito
Ejemplo de problema muy muy difícil
De un conjunto de números enteros de tamaño $N$ ¿existe una combinación del subconjuntos de ellos que sume $C$?
¿Cómo se diseña la MT?
- $N=1, 2^1*1 = 2 = 2ns$
- $N=2, 2^2*2 = 8 = 8ns$
- $N=3, 2^3*3 = 24 = 24ns$
- $N=10, 2^10*10 = 10,240 = 10 micros$
- $N=20, 2^20*20 = 20,971,520 = 2 milis$
- $N=30, 2^30*30 = 32,212,254,720 = 32 s$
- $N=40, 2^40*40 = 43,980,465,111,040 = 12 h$
- $N=50, 2^50*50 = 56,294,995,342,131,200 = 651 d$
¿Por qué mi programa tiene un loop?
- Por diseño, loops son importantes desde lenguajes regulares
¿Por qué mi programa tiene un loop infinito?
- Un error
- Por diseño, interfaz gráfica, satélites, switches, robots
Hecho de la computación: los loops son básicos en la computación
Pero nos meten en problemas rápidamente
¿Qué hay de lenguajes recursivos?
El lenguaje de las máquinas y cadenas que se aceptan en $n$ pasos
$L_n=\{mw | w\in L(M) \text{ en }n\text{ pasos} \}$
Enumeremos todas las codificaciones de automatas lineales con frontera (MT) decidibles, $\{M_1,M_2,\ldots\}$
Enumeramos todas las cadenas de $\Sigma^*$
$L_\bar{f}=\{x_i | x_i\not\in L(M_i) \}$
- Si $L_\bar{f}$ fuera sensitivo al contexto, una de máquina $M_x$ aceptaría a todas las cadenas dentro de $L_\bar{f}$, que va encontra de la definición. Por lo tanto no es sensitivo al contexo.
- Sin embargo, si es decidible ya que la máquina $M_\bar{f}$ lo único que tiene que hacer es simular a cada $M_i$ con $x_i$ (es decir, es universal), pero no se queda trabada porque se trata de máquinas decidibles
| Lenguaje | Gramática | Máquina | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| No RE | -- | -- | $L_d$ |
| $L_{RE}/L_{Rec}$ | Tipo 0 ($\alpha \rightarrow \beta$) | Máquina de Turing, APDo, AC | $L_u$/$L_n$,$L_\bar{f}$ |
| $L_{DC}$ | Tipo 1 ($\alpha V \beta \rightarrow \alpha \gamma \beta$) | Autómata lineal con fronteras | $ww, a^nb^nc^n$ |
| $L_{LC}$ | Tipo 2 ($V\rightarrow \alpha$) | Autómata de pila | $ww^r, a^nb^n$ |
| $L_{reg}$ | Tipo 3 ($V \rightarrow aA|\epsilon$) |
Autómata finito | $w, a^*$ |
La tesis de Turing-Church (relajada)
Toda computación real puede ser transformada a una máquina de Turing
La tesis de Turing-Church
Toda computación efectiva puede llevarse a cabo por una máquina de Turing
Método efectivo, M
- $M$ está compuesto por un número finito de instrucciones
- $M$ cuando llevado a cabo sin error siempre produce el resultado deseado en un número finito de pasos
- $M$ puede llevarse a cabo por un humano sin la necesidad de una computadora, pero con lápiz y papel
- $M$ no necesita de conocimiento externo o ingenuidad de parte del humano que lo ejecuta
Evidencia
- Toda función efectivamente calculable se ha comprobado ser una máquina de Turing
- Todos los métodos para obtener nuevas funciones efectivamente calculables tienen un equivalente en máquina de Turing
- Todos los intentos de formalizar la noción intuitiva de efectivamente calculable han resultado en el mismo conjunto, recursivo enumerable
Otras formalizaciones
- Cálculo lambda
- Gramática tipo 0
- Funciones parciales recursivas
- Algoritmos Post
- Forma canónica Post
- Algoritmos de Markov
Variaciones
- Todas las funciones físicas computables son Turing-computable
- Una máquina probabilistica de Turing puede simular eficientemente cualquier modelo razonable de computación
- Máquinas razonables pueden simularse las unas a las otras con un exceso polinomial en tiempo y un factor constante en espacio
- Una máquina de Turing cuántica puede simular eficientemente cualquier modelo realista de computación
- Problemas computables, RE
- Problemas no computables, NRE, $L_d$
| Lenguaje | Gramática | Máquina | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| No RE | -- | -- | $L_d$ |
| $L_{RE}/L_{Rec}$ | Tipo 0 ($\alpha \rightarrow \beta$) | Máquina de Turing, APDo, AC | $L_u$/$L_n$,$L_\bar{f}$ |
| $L_{DC}$ | Tipo 1 ($\alpha V \beta \rightarrow \alpha \gamma \beta$) | Autómata lineal con fronteras | $ww, a^nb^nc^n$ |
| $L_{LC}$ | Tipo 2 ($V\rightarrow \alpha$) | Autómata de pila | $ww^r, a^nb^n$ |
| $L_{reg}$ | Tipo 3 ($V \rightarrow aA|\epsilon$) |
Autómata finito | $w, a^*$ |
Lenguajes decidibles
Suma
¿Dado dos número en notación unaria, verificar que se puedan sumar?
Los sumamos
Muy fácil, $O(n+m)$
Verificación de suma
¿Dado tres números en notación unaria, verificar que el último sea la suma de los dos primeros?
Los sumamos y comprobamos que sean el mismo valor
Muy fácil, $O(n+m)$
Multiplicación
¿Dado dos número en notación unaria, verificar que se puedan multiplicar?
Los multiplicamos
Más o menos fácil, $O(n*m)$ (naive)
Verificación de multiplicación
¿Dado tres número en notación unaria, verificar que el último sea producto de los dos primeros?
Los multiplicamos y comprobamos que sean el mismo valor
Más o menos fácil, $O(n*m)$ (naive)
Verificar número primos
¿Dado un número en notación unaria, es primo?
Dividir número entre factores de $2$ hasta $\sqrt{n}$
¡Más o meno algo de tiempo! $O(\sqrt{n})$
Identificar factores
¿Dado un número en notación unaria, identificar si es divisible entre dos factores primos?
Encontrar un par de primos menores a $n$ que produzcan el número n
¡Más dificil! $O(\frac{n*\sqrt(n)}{log(n)^2})$
Verificación factor
¿Dado tres número en notación unaria, verificar que el último sea el producto de los dos primeros?
Los multiplicamos y comprobamos que sean el mismo valor
Más o menos fácil, $O(n*m)$ (naive)
- Sacar un elemento de un arreglo $O(n)$
- Sacar un elemento de un ábol B $O(log(n))$
- Verificar que mi usuario esté en la base de datos $O(n)$
Nuestro talón de aquiles comienza con que el complemento de decidibles son decidibles
Lenguajes no decidibles
Problema del paro
Existe una máquina de Turing $M_h$ que pueda tomar cualquier máquina $M$ y una entrada $w$ y pueda determinar si el programa para.
La respuesta es NO
Definición de halt
$$M_h(M,w) = \begin{cases} 1 & \text{si } M \text{ para con entrada } w \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$
La función computable (no decidible)
$$ M_g(i) = \begin{cases} 0 & \text{si } M(i,i)=0 \\ loop & \text{otherwise} \end{cases}$$
Sabemos que es computable
Dos opciones
¿Qué $M$ define a $M_h$?
Si $M(M_g,M_g)=0$ entonces $M_g(M_g)=0$, entonces $M_h(M_g,M_g)=1$
Si $M(M_g,M_g)=1$ entonces $M_g(M_g)$ loops, entonces $M_h(M_g,M_g)=0$
Entonces asumimos mal que $M_h$ era decidible
Uno de los primeros problemas descubiertos ser no decidibles
Es común transformar problemas al problema de paro para demostrar que también son no decidibles
Teorema de Rice
Toda propiedad no trivial de los lenguajes RE es indecidible
- Todo conjunto de lenguajes de RE es una propiedad
- $\emptyset$ y RE son propiedades triviales
- El conjunto de $M$ que regresan verdadero para toda $w$
- El conjunto de $M$ que no aceptan al lenguaje vacio
- El conjunto de $M$ que corresponde a un lenguajes libres de contexto
- La app va a vigilarme
- La app va alentar mi celular
- La app va a pasmarse
No recursivamente enumerables
Nuestro talón de aquiles continua con que hay problemas para los cuales no hay una MT
- $L$ y $\overline{L}$ son Rec
- $L\in RE \bigcap \overline{R} $ y $\overline{L}$ no en RE
Los complementos de RE
- $h=\{[M,w] | w \in L(M) \text{ y para} \}$
- $\overline{h}=\{[M,w] | w \in L(M) \text{no para si }M\text{ es una máquina de Turing o}$ $M\text{ no es una Máquina de Turing}$
- El conjunto de $M$ que regresan falso para toda $w$ o $M$ no es una MT
- El conjunto de $M$ que aceptan al lenguaje vacio o $M$ no es una MT
- El conjunto de $M$ que corresponde a los lenguajes no son libres de contexto o $M$ no es una MT
- La app no va a vigilarme
- La app no va alentar mi celular
- La app no va a pasmarse
| Lenguaje | Gramática | Máquina | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| No RE | -- | -- | $L_d,L_{\bar{h}}$ |
| $L_{RE}/L_{Rec}$ | Tipo 0 ($\alpha \rightarrow \beta$) | Máquina de Turing, APDo, AC | $L_u$,$L_h$/$L_n$,$L_\bar{f}$ |
| $L_{DC}$ | Tipo 1 ($\alpha V \beta \rightarrow \alpha \gamma \beta$) | Autómata lineal con fronteras | $ww, a^nb^nc^n$ |
| $L_{LC}$ | Tipo 2 ($V\rightarrow \alpha$) | Autómata de pila | $ww^r, a^nb^n$ |
| $L_{reg}$ | Tipo 3 ($V \rightarrow aA|\epsilon$) |
Autómata finito | $w, a^*$ |
Reducción
Un problema $A$ se reduce a $B$, $A \le B$
Función de reducción
- Una función $f(w)$
- $A$ se reduce a $B$ si $w\in A$ si y sólo si $f(w) \in B$
- Sí $w\in A$ entonces $f(w)\in B$
- Sí $w\not\in A$ entonces $f(w)\not\in B$
Pequeño problema
Considerar $L_D$ y reducir a $0^*1^*$
- Sí $w\in L_D$ entonces $f(w)= 01$
- Sí $w\not\in L_D$ entonces $f(w)= 10$
¿Entonces reducimos $L_D$ a regular?
$f$ tiene que ser computable
Reducción
Máquina R
Con la entrada $w$
- Calcular $f(w)$
- Correr $M_B$ en $f(w)$
- Si $M_B$ acepta $f(w)$, entonces aceptar $w$
- Si $M_B$ rechaza $f(w)$, entonces rechazar $w$
Notación $A\le_M B$, $A$ es reducible a $B$
Propiedades
- Si A, entonces $A \le B$
- Si A,B y C entonces $A \le B$ y $B \le C$ entonces $A \le C$
Informalemente, A no es más difícil que B
Reducciones famosas
- $HALT \le L_u$
- $L_u \le HALT$
- $HALT \le DECIDER$ donde $\{ m | \text{is a decider} \}$
- $L_u \le ONES$ donde $\{m | m\text{ acepta w con forma } 1^n\}$
- $L_d \le ONLYONES$ donde $\{m | L(m) \subseteq 1^*\}$
- $L_d \le \overline{ONLYONES}$ donde $\{m | L(m) \not \subseteq 1^*\}$
Opciones
Si $A\le_MB$
- Si $B$ es decidible, entonces $A$ lo es
- Si $B$ es computable, entonces $A$ lo es
- Si $A$ es indecidible, entonces $B$ lo es
- Si $A$ es no es computable (no RE), entonces $B$ lo es
Dónde quedan en la jerarquía extendida
- $HALT \le L_u$
- $L_u \le HALT$
- $HALT \le DECIDER$ donde $\{ m | \text{is a decider} \}$
- $L_u \le ONES$ donde $\{m | m\text{ acepta w con forma } 1^n\}$
- $L_d \le ONLYONES$ donde $\{m | L(m) \subseteq 1^*\}$
- $L_u \le \overline{ONLYONES}$ donde $\{m | L(m) \not \subseteq 1^*\}$
El poder de tener la respuesta
- $ONES$ si me dan una respuesta válida $m,1^n$, es fácil de checar
- $ONES$ si me dan una inválida $m,1^n$, no es tan fácil de checar (loop)
- $\overline{ONLYONES}$ si me dan una respuesta inválida $m,\not = 1^n$, es fácil de checar
- $\overline{ONLYONES}$ si me dan una respuesta válida $m,1^n$, no es fácil de checar (loop)
RE y co-RE
RE es el conjunto de lenguajes reconocidos por una máquina de Turing
Problemas para los cuales verificamos una respuesta correcta
co-RE es el conjunto de lenguajes cuyos complementso son reconocidos por una máquina de Turing
Problemas para los cuales verificamos una respuesta incorrecta
RE y co-RE
- Si $L\in RE$ y $\overline{L} \in RE$, entonces $L\in Rec$
- Si $L\in RE$ y $\overline{L} \in coRE$, entonces $L\in Rec$
- Si $L\not\in R$ y ${L}\in RE$, entonces $L\not\in co-RE$
- Si $L\not\in R$ y ${L}\in co-RE$, entonces $L\not\in RE$
¿Qué sabemos de este lenguaje?
$REGULAR=\{[M] | L(M)\text{ es regular}\}$
$L_D\le_M REGULAR$
REGULAR es no RE, pero
$\overline{L_D}\le_M REGULAR$
$REGULAR$ y $\overline{REGULAR}$ afuera de los límites de lo computable
¿Otro afuera?
$EQ_{TM}=\{[M_1,M_2] | L(M_1) = L(M_2)\}$
| Lenguaje | Gramática | Máquina | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| Más alla/No RE | -- | -- | $REGULAR, \overline{REGULAR}, L_{EQ}$ |
| co-RE/No RE | -- | -- | $\overline{L_u},L_D, \overline{ONES}, ONLYONES$ |
| $L_{RE}/L_{Rec}$ | Tipo 0 ($\alpha \rightarrow \beta$) | Máquina de Turing, APDo, AC | $L_u,\overline{L_D}, ONES, \overline{ONLYONES}$/$L_n$,$L_\bar{f}$ |
| $L_{DC}$ | Tipo 1 ($\alpha V \beta \rightarrow \alpha \gamma \beta$) | Autómata lineal con fronteras | $ww, a^nb^nc^n$ |
| $L_{LC}$ | Tipo 2 ($V\rightarrow \alpha$) | Autómata de pila | $ww^r, a^nb^n$ |
| $L_{reg}$ | Tipo 3 ($V \rightarrow aA|\epsilon$) |
Autómata finito | $w, a^*$ |
Resumen: Church-Turing tesis
- Rec: problemas que pueden ser calculados por una computadora
- RE: problemas donde respuestas pueden ser verificados por una computadora
- co-RE: problemas donde respuestas pueden ser refutadas por una computadora
Máquinas de Turing o máquinas con cola by Ivan V. Meza Ruiz is licensed under a Creative Commons Reconocimiento 4.0 Internacional License.
Creado a partir de la obra en http://turing.iimas.unam.mx/~ivanvladimir/slides/lfya/mt.html.