Problemas, problemas, problemas

I've got 99 problems and 3-SAT reduces to all of them..— Reddit

Ivan Meza

Reducción

Un problema $A$ se reduce a $B$, $A \le B$

Función de reducción

• Una función $f(w)$
• $A$ se reduce a $B$ si $w\in A$ si y sólo si $f(w) \in B$
• Sí $w\in A$ entonces $f(w)\in B$
• Sí $w\not\in A$ entonces $f(w)\not\in B$

Pequeño problema

Considerar $L_D$ y reducir a $0^*1^*$

• Sí $w\in L_D$ entonces $f(w)= 01$
• Sí $w\not\in L_D$ entonces $f(w)= 10$

¿Entonces reducimos $L_D$ a regular?

$f$ tiene que ser computable

Reducción

Máquina R

Con la entrada $w$

• Calcular $f(w)$
• Correr $M_B$ en $f(w)$
• Si $M_B$ acepta $f(w)$, entonces aceptar $w$
• Si $M_B$ rechaza $f(w)$, entonces rechazar $w$

Notación $A\le_M B$, $A$ es reducible a $B$

Propiedades

• Si A, entonces $A \le B$
• Si A,B y C entonces $A \le B$ y $B \le C$ entonces $A \le C$

Informalemente, A no es más difícil que B

Reducciones famosas

• $HALT \le L_u$
• $L_u \le HALT$
• $HALT \le DECIDER$ donde $\{ m | \text{is a decider} \}$
• $L_u \le ONES$ donde $\{m | m\text{ acepta w con forma } 1^n\}$
• $L_d \le ONLYONES$ donde $\{m | L(m) \subseteq 1^*\}$
• $L_d \le \overline{ONLYONES}$ donde $\{m | L(m) \not \subseteq 1^*\}$

Opciones

Si $A\le_MB$

• Si $B$ es decidible, entonces $A$ lo es
• Si $B$ es computable, entonces $A$ lo es
• Si $A$ es indecidible, entonces $B$ lo es
• Si $A$ es no es computable (no RE), entonces $B$ lo es

Dónde quedan en la jerarquía extendida

• $HALT \le L_u$
• $L_u \le HALT$
• $HALT \le DECIDER$ donde $\{ m | \text{is a decider} \}$
• $L_u \le ONES$ donde $\{m | m\text{ acepta w con forma } 1^n\}$
• $L_d \le ONLYONES$ donde $\{m | L(m) \subseteq 1^*\}$
• $L_u \le \overline{ONLYONES}$ donde $\{m | L(m) \not \subseteq 1^*\}$

El poder de tener la respuesta

• $ONES$ si me dan una respuesta válida $m,1^n$, es fácil de checar
• $ONES$ si me dan una inválida $m,1^n$, no es tan fácil de checar (loop)
• $\overline{ONLYONES}$ si me dan una respuesta inválida $m,\not = 1^n$, es fácil de checar
• $\overline{ONLYONES}$ si me dan una respuesta válida $m,1^n$, no es fácil de checar (loop)

RE y co-RE

RE es el conjunto de lenguajes reconocidos por una máquina de Turing

Problemas para los cuales verificamos una respuesta correcta

co-RE es el conjunto de lenguajes cuyos complementso son reconocidos por una máquina de Turing

Problemas para los cuales verificamos una respuesta incorrecta

RE y co-RE

• Si $L\in RE$ y $\overline{L} \in RE$, entonces $L\in Rec$
• Si $L\in RE$ y $\overline{L} \in coRE$, entonces $L\in Rec$
• Si $L\not\in R$ y ${L}\in RE$, entonces $L\not\in co-RE$
• Si $L\not\in R$ y ${L}\in co-RE$, entonces $L\not\in RE$

¿Qué sabemos de este lenguaje?

$REGULAR=\{[M] | L(M)\text{ es regular}\}$

$L_D\le_M REGULAR$

REGULAR es no RE, pero

$\overline{L_D}\le_M REGULAR$

$REGULAR$ y $\overline{REGULAR}$ afuera de los límites de lo computable

¿Otro afuera?

$EQ_{TM}=\{[M_1,M_2] | L(M_1) = L(M_2)\}$

Resumen: Church-Turing tesis

• Rec: problemas que pueden ser calculados por una computadora
• RE: problemas donde respuestas pueden ser verificados por una computadora
• co-RE: problemas donde respuestas pueden ser refutadas por una computadora

Fijandonos en los decidables

• ¿Es posible resolver un problema eficientemente?

Eficiencia se mide en número de pasos/tiempo

Tipos de complejidades

• Contante $O(1)$
• Log log $O(log(n)log(n))$
• Logarítmica $O(log(n))$
• Raiz cuadrática $O(\sqrt{n})$
• Polinómica $O(n)$
• Polinómica Log $O(nlog(n))$
• Polinómica cuadrada $O(n^2)$
• Exponencial log $O(2^{log(n)})$
• Exponencial $O(2^n)$
• Factorial $O(n!)$

Tesis de Cobham-Edmonds

Un lenguaje $L$ puede ser resuelto eficientemente si se decide en tiempo polinómico

Clase de P

Todos los problemas que se pueden resolver en en tiempo polinomial

Ejemplos

• Reconocer $w$ de un AF, AFND y AFND-$\epsilon$
• Reconocer $w$ de un APD
• Reconocer $w$ de un AP (!Compiladores!)
• ¿Dado un grafo y dos nodos, estos se conectan?
• ¿Dado un número $n$ es primo?
• Etc, ...

Clase de NP

Todos los problemas que se pueden resolver en en tiempo polinomial por una MTND

NP es No determinístico en tiempo polinomial

Máquinas de Turing

Es una tupla $(Q,\Sigma,\Gamma,q_0,B,A,\delta)$

• $Q$ conjunto finito de estados
• $\Sigma$ alfabeto de cadenas reconocidas
• $\Gamma $ alfabeto de cinta, $\Sigma \subset \Gamma$
• $q_0$ estado inicial
• $B$ Símbolo de espacio en blanco $B \in \Gamma$ pero $B \not\in \Sigma$
• $A$ estados finales
• $\delta$ función de transición $Q \times \Gamma \rightarrow Q\times\Gamma\times\{der,izq\}$

Máquinas de Turing no determinística

Es una tupla $(Q,\Sigma,\Gamma,q_0,B,A,\delta)$

• $Q$ conjunto finito de estados
• $\Sigma$ alfabeto de cadenas reconocidas
• $\Gamma $ alfabeto de cinta, $\Sigma \subset \Gamma$
• $q_0$ estado inicial
• $B$ Símbolo de espacio en blanco $B \in \Gamma$ pero $B \not\in \Sigma$
• $A$ estados finales
• $\delta$ función de transición $Q \times \Gamma \rightarrow \{Q\times\Gamma\times\{der,izq\}\}$

Uso el no determinismo para adivinar respuestas

Uso el determinismo para verificar la respuesta

Problemas fáciles de verificar

Ejemplos de NP

• Soduko
• El problema del agente de viaje
• Un grafo puede ser coloreado por $k$ colores
• Determinar la mejor forma de asignar trabajos a trabajadores

La pregunta más importante en computación

¿$P=NP$? o ¿$P\not =NP$?

El cuarto problema de los problemas de Millenium

Solucción vale un millón de dolares

Descrito en 1971

NP-hard

Informalmente, son los problemas que son tan difíciles como el más difícil en NP

Formalmente, son los problemas que son tan difíciles como el más difícil en NP

NP-complete

Intercección NP y NP-hard

Ejemplos $NP-complete$

• Satisfacción Lógica Proposicional
• De un conjunto de números podemos encontrar un conjunto que sume zero

Ejemplos $NP-hard$

• NP-complete
• Halting problem

Si $L\in \text{NP-complete}$ y $L\in P$, entonces $P=NP$

¿Como resolvemos estos problemas?

• Aproximación
• Aleatoriidad
• Uso de restricciones
• Parametrización
• Heurísticas

Para mayor información visitar el zoológico aquí